$\ln (a+c), \ln (c-a), \ln (a-2 b+c)$ { are in A.P. } $\\ \Rightarrow a+c, c-a, a-2 b+c$ { are in G.P. } $\\ \Rightarrow(c-a)^2=(a+c)(a-2 b+c)$ $\\ \Rightarrow(c-a)^2=(a+c)^2-2 b(a+c)$ $\\ \Rightarrow 2 b(a+c)=(a+c)^2-(c-a)^2$ $\\ \Rightarrow 2 b(a+c)=4 a c \Rightarrow b=\frac{2 a c}{a+c} \Rightarrow$ a, b, c { are in H.P. }