We have,
S k = k − 1 k ! 1 − 1 k = 1 ( k − 1 ) ! S_k=\frac{\frac{k-1}{k!}}{1-\frac{1}{k}}=\frac{1}{(k-1)!} \\\\ S k = 1 − k 1 k ! k − 1 = ( k − 1 )! 1
∴ ∑ k = 2 100 ∣ ( k 2 − 3 k + 1 ) S k ∣ \therefore \sum_{k=2}^{100}\left|\left(k^2-3 k+1\right) S_k\right| \\\\ ∴ ∑ k = 2 100 ( k 2 − 3 k + 1 ) S k
= ∑ k = 2 100 ∣ { ( k − 1 ) 2 − k } ( k − 1 ) ! ∣ =\sum_{k=2}^{100}\left|\frac{\left\{(k-1)^2-k\right\}}{(k-1)!}\right| \\\\ = ∑ k = 2 100 ( k − 1 )! { ( k − 1 ) 2 − k }
= ∑ k = 2 100 ∣ k − 1 ( k − 2 ) ! − k ( k − 1 ) ! ∣ =\sum_{k=2}^{100}\left|\frac{k-1}{(k-2)!}-\frac{k}{(k-1)!}\right| \\\\ = ∑ k = 2 100 ( k − 2 )! k − 1 − ( k − 1 )! k
= ∑ k = 2 100 ∣ ( k − 2 ) + 1 ( k − 2 ) ! − ( k − 1 ) + 1 ( k − 1 ) ! ∣ =\sum_{k=2}^{100}\left|\frac{(k-2)+1}{(k-2)!}-\frac{(k-1)+1}{(k-1)!}\right| \\\\ = ∑ k = 2 100 ( k − 2 )! ( k − 2 ) + 1 − ( k − 1 )! ( k − 1 ) + 1
= ∑ k = 2 100 ∣ 1 ( k − 3 ) ! − 1 ( k − 2 ) ! + 1 ( k − 2 ) ! − 1 ( k − 2 ) ! ∣ =\sum_{k=2}^{100}\left|\frac{1}{(k-3)!}-\frac{1}{(k-2)!}+\frac{1}{(k-2)!}-\frac{1}{(k-2)!}\right| \\\\ = ∑ k = 2 100 ( k − 3 )! 1 − ( k − 2 )! 1 + ( k − 2 )! 1 − ( k − 2 )! 1
= ∑ k = 2 100 { 1 ( k − 3 ) ! − 1 ( k − 2 ) ! } ∑ k = 2 100 { 1 ( k − 2 ) ! − 1 ( k − 1 ) ! } =\sum_{k=2}^{100}\left\{\frac{1}{(k-3)!}-\frac{1}{(k-2)!}\right\} \sum_{k=2}^{100}\left\{\frac{1}{(k-2)!}-\frac{1}{(k-1)!}\right\} \\\\ = ∑ k = 2 100 { ( k − 3 )! 1 − ( k − 2 )! 1 } ∑ k = 2 100 { ( k − 2 )! 1 − ( k − 1 )! 1 }
= { ( 1 − 1 1 ! ) + ( 1 1 ! − 1 2 ! ) + ( 1 2 ! − 1 3 ! ) + … + ( 1 97 ! − 1 98 ! ) } =\left\{\left(1-\frac{1}{1!}\right)+\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{97!}-\frac{1}{98!}\right)\right\} \\\\ = { ( 1 − 1 ! 1 ) + ( 1 ! 1 − 2 ! 1 ) + ( 2 ! 1 − 3 ! 1 ) + … + ( 97 ! 1 − 98 ! 1 ) }
+ { ( 1 − 1 1 ! ) + ( 1 1 ! − 1 2 ! ) + ( 1 2 ! − 1 3 ! ) + … + ( 1 98 ! − 1 99 ! ) } +\left\{\left(1-\frac{1}{1!}\right)+\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{98!}-\frac{1}{99!}\right)\right\} \\\\ + { ( 1 − 1 ! 1 ) + ( 1 ! 1 − 2 ! 1 ) + ( 2 ! 1 − 3 ! 1 ) + … + ( 98 ! 1 − 99 ! 1 ) }
= ( 1 − 1 98 ! ) + ( 1 − 1 99 ! ) = 2 1 98 ! − 1 99 ! = 2 − 100 99 ! =\left(1-\frac{1}{98!}\right)+\left(1-\frac{1}{99!}\right)=2 \frac{1}{98!}-\frac{1}{99!}=2-\frac{100}{99!}\\\\ = ( 1 − 98 ! 1 ) + ( 1 − 99 ! 1 ) = 2 98 ! 1 − 99 ! 1 = 2 − 99 ! 100
Hence,
( 100 ) 2 100 ! + ∑ k = 1 100 ∣ ( k 2 − 3 k + 1 ) S k ∣ \frac{(100)^2}{100!}+\sum_{k=1}^{100}\left|\left(k^2-3 k+1\right) S_k\right| \\\\ 100 ! ( 100 ) 2 + ∑ k = 1 100 ( k 2 − 3 k + 1 ) S k
100 99 ! + S 1 + ∑ k = 2 100 ∣ ( k 2 − 3 k + 1 ) S k ∣ \frac{100}{99!}+S_1+\sum_{k=2}^{100}\left|\left(k^2-3 k+1\right) S_k\right| \\\\ 99 ! 100 + S 1 + ∑ k = 2 100 ( k 2 − 3 k + 1 ) S k
= 100 99 ! + 1 + 2 − 100 99 ! = 3 =\frac{100}{99!}+1+2-\frac{100}{99!}=3 = 99 ! 100 + 1 + 2 − 99 ! 100 = 3
