Let the three distinct real numbers be $\frac{a}{r}, a, a r$ in G.P. $\\$Since sum of squares of these numbers be $s^2$. $\\ \therefore \frac{a^2}{r^2}+a^2+a^2 r^2=s^2 \Rightarrow \frac{a^2\left(1+r^2+r^4\right)}{r^2}=s^2\\$ Sum of numbers is $a . s$ $\therefore \frac{a}{r}+a+a r=a . s \\ \Rightarrow \frac{a\left(1+r+r^2\right)}{r}=a.s$ (1) divided by the square of (2) gives $\begin{aligned} & \frac{a^2\left(1+r^2+r^4\right)}{r^2} \cdot \frac{r^2}{a^2\left(1+r+r^2\right)^2}=\frac{1}{\alpha^2} \\ & \therefore \frac{\left(1+r^2\right)^2-r^2}{\left(1+r+r^2\right)^2}=\frac{1}{\alpha^2} \\& \Rightarrow \frac{1-r+r^2}{1+r+r^2}=\frac{1}{\alpha^2} \\ & \Rightarrow \alpha^2-\alpha^2 r+\alpha^2 r^2=1+r+r^2 \\& \Rightarrow r^2\left(1-a^2\right)+r\left(1+a^2\right)+1-a^2=0 \\ & \Rightarrow r^2+r\left(\frac{1+\alpha^2}{1-\alpha^2}\right)+1=0\end{aligned}$ $\\$For $r$ to be real, disc. should be $\geq 0$ $\\ \begin{aligned} & \left(\frac{1+a^2}{1-a^2}\right)^2-4 \geq 0 \\& \Rightarrow\left(1+\alpha^2\right)^2-4\left(1-\alpha^2\right)^2 \geq 0 \\& \Rightarrow-3 \alpha^4+10 \alpha^2-3 \geq 0 \Rightarrow 3 \alpha^4-10 \alpha^2+3 \leq 0\end{aligned}$ $\\ \Rightarrow\left(3 a^2-1\right)\left(a^2-3\right) \leq 0 \Rightarrow \frac{1}{3} \leq a^2 \leq 3\\$ If $\alpha^2=1$, from (3), $r=0$, not possible. $\\ \Rightarrow \alpha^2 \in\left[\frac{1}{3}, 1\right) \cup(1,3] .$