$\begin{aligned} & \sin^7 x \leq \sin^2 x \leq 1 \quad \dots(1) \\

    & \text{and } \cos^7 x \leq \cos^2 x \leq 1 \quad \dots(2) \\

    & \text{also } \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \\

    \\

  

 \Rightarrow & \text{ equality must hold for (1) \& (2)} \\

    \\

    \Rightarrow & \sin^7 x = \sin^2 x \text{ \& } \cos^7 x = \cos^2 x \\

    \Rightarrow & \sin x = 0 \text{ \& } \cos x = 1 \\

    & \text{or} \\

    & \cos x = 0 \text{ \& } \sin x = 1 \\

    \\

    \Rightarrow & x = 0, 2\pi, 4\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \\

    \\

    \Rightarrow & \mathbf{5 \text{ solutions}} \end{aligned}$