These real numbers can be taken as 8 quantities,

$a^{-5}, a^{-4}, a^{-3}, a^{-3}, a^{-3}, 1, a^8, a^{10} .$

All are positive as a $>0\\$

$\therefore \mathrm{AM}>\mathrm{GM}$ (as all quantities are not distinct)$

 $\therefore \frac{1}{8}\left[a^{-5}+a^{-4}+a^{-3}+a^{-3}+a^{-3}+1+a^8+a^{10}\right] \\$

$\geq\left(a^{-5} \cdot a^{-4} \cdot a^{-3} \cdot a^{-3} \cdot a^{-3} \cdot 1 \cdot a^8 \cdot a^{10}\right)^{1 / 8} \\$

$\Rightarrow  \frac{1}{8}\left[a^{-5}+a^{-4}+a^{-3}+a^{-3}+a^{-3}+1+a^8+a^{10}\right] \geq 1^{1 / 8} \\$

$\Rightarrow  \left(a^{-5}+a^{-4}+a^{-3}+a^{-3}+a^{-3}+1+a^8+a^{10}\right) \geq 8\\$

∴ Minimum value of the sum is $\mathbf{8}$.