$\begin{aligned}& a_k=2 a_{k-1}-a_{k-2} \\& \Rightarrow a_k-a_{k-1}=a_{k-1}-a_{k-2}=a_{k-2}-a_{k-3}=\cdots\end{aligned}$ Thus the sequence $\left\{a_k\right\}$ is an A.P.$\begin{aligned}& \frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{11}^2}{11}=90 \\& \Rightarrow \frac{15^2+(15+\theta)^2+\cdots+(15+10 \theta)^2}{11}=90 \\& \Rightarrow 7 \theta^2+30 \theta+27=0 \Rightarrow(7 \theta+9)(\theta+3)=0\end{aligned}$ But $27-2 a_2>0 \Rightarrow a_2<27 / 2 \therefore \theta=-3$Now $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{11}}{11}=\frac{11}{2} \cdot \frac{\{30+10(-3)\}}{11}=0$