Normal to plane = $\begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ 1 & a & -1 \\ -1 & 1 & -a \end{vmatrix}$

$= \widehat i(1 - {a^2}) - \widehat j( - a - 1) + \widehat k(1 + a)$

$= (1 - a)\widehat i + \widehat j + \widehat k$

$\therefore \text{Plane } (1 - a)(x - 1) + (y - 1) + z = 0$

Distance from (2, 1, 4) is $\sqrt 3$ i.e.

$\Rightarrow \left| {{{(1 - a) + 0 + 4} \over {\sqrt {{{(1 - a)}^2} + 1 + 1} }}} \right| = \sqrt 3$

$\Rightarrow 25 + {a^2} - 10a = 3{a^2} - 6a + 9$

$\Rightarrow 2{a^2} + 4a - 16 = 0$

$\Rightarrow {a^2} + 2a - 8 = 0$

$a = 2 \text{ or } - 4$

$\therefore {a_{\max }} = 2$