$\begin{array}{ll}L_1 \equiv \vec{r}=(1,2,3)+\lambda(1,-1,1) & \left(\vec{r}=\vec{a}_1+\lambda \vec{b}_1\right) \\\\ L_2 \equiv \vec{r}=(4,5,6)+\mu(1,1,-1) & \left(\vec{r}=\vec{a}_2+\lambda \vec{b}_2\right)\end{array}$ 

$P \equiv(\lambda+1,-\lambda+2, \lambda+3)$ 

$Q \equiv(\mu+4, \mu+5,-\mu+6)$ 

$\overrightarrow{P Q}=(\mu-\lambda+3, \mu+\lambda+3,-\mu-\lambda+3)$ 

$\overrightarrow{P Q} \cdot \vec{b}_1=0 \Rightarrow 3 \lambda+\mu=3$ ..........(i) 

$\overrightarrow{P Q} \cdot \vec{b}_2=0 \Rightarrow 3 \mu+\lambda=3$ ..........(ii) 

From (i) and (ii), 

$\begin{aligned} & P \equiv\left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, \frac{9}{2}\right) \& Q \equiv\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{15}{2}\right) \\\\ & \alpha=\frac{5}{2}, \beta=\frac{4}{2}, \gamma=\frac{12}{2} \\\\ & 2(\alpha+\beta+\gamma)=21 \end{aligned}$