$\begin{aligned} & (x+3)^{n-1}+(x+3)^{n-2}(x+2)+(x+3)^{n-3} \\ & (x+2)^2+\ldots \ldots .+(x+2)^{n-1} \\ & \sum \alpha_r=4^{n-1}+4^{n-2} \times 3+4^{n-3} \times 3^2 \ldots \ldots+3^{n-1} \\ & =4^{n-1}\left[1+\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^2 \ldots .+\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\right] \\ & =4^{n-1} \times \frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^n}{1-\frac{3}{4}} \\ & =4^n-3^n=\beta^n-\gamma^n \\ & \beta=4, \gamma=3 \\ & \beta^2+\gamma^2=16+9=25 \end{aligned}$