Given, lines 

$\\ \begin{aligned} & \frac{x-1}{2} =\frac{2-y}{-3}=\frac{z-3}{\alpha} \\ &\Rightarrow \frac{x-1}{2} =\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{\alpha}=\lambda .........(i) \end{aligned}$

Any point on the line (i) 

$\\ x=2 \lambda+1, y=3 \lambda+2, z=\alpha \lambda+3$ 

and line $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{\beta}=\mu$ ............(ii) 

Any point on line (ii) 

$\\ \Rightarrow x=5 \mu+4, y=2 \mu+1, z=\beta \mu$

Since, given lines intersects 

$\begin{aligned} & \therefore 2 \lambda+1=5 \mu+4 ..........(iii) \\ & 3 \lambda+2=2 \mu+1 ............(iv) \\ & \text { and } \alpha \lambda+3=\beta \mu ..........(iv) \end{aligned}$ 

On solving (iii) and (iv), we get 

$\\ \lambda=-1, \mu=-1$ 

On putting value of $\lambda$ and $\mu$ in (v), we get 

$\\ \begin{array}{cc} & \alpha(-1)+3=-\beta \\ & \Rightarrow \alpha=\beta+3 \end{array}$ 

Now, 

$\\ \begin{aligned} & 8 \alpha \beta=8 (\beta+3)(\beta) \\ &= 8\left(\beta^2+3 \beta\right) \\ & =8\left(\beta^2+3 \beta+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right) \\ & =8\left\{\left(\beta+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right\} \end{aligned}$ 

$=8\left(\beta+\frac{3}{2}\right)^2-18$ 

Here, minimum value $=-18$ 

$\therefore$ Magnitude of the minimum value of $8 \alpha \beta$ is 18 .