By AM-GM inequality$\\ \frac{3^{y_1} + 3^{y_2} + 3^{y_3}}{3} \geq (3^{y_1} \cdot 3^{y_2} \cdot 3^{y_3})^{\frac{1}{3}}$ $\\ \Rightarrow 3^{y_1} + 3^{y_2} + 3^{y_3} \geq 3 \left( 3^{\frac{y_1+y_2+y_3}{3}} \right)$ $\\ \Rightarrow 3^{y_1} + 3^{y_2} + 3^{y_3} \geq 3^4$ $\\ \Rightarrow \log_3 (3^{y_1} + 3^{y_2} + 3^{y_3}) \geq 4$ $\\ \Rightarrow m = 4 \text{ ,}$ $\\$ Similarly For $\\ \log_3 x_1 + \log_3 x_2 + \log_3 x_3 = \log_3 (x_1 x_2 x_3) \\ = P (\text{ say })x_1 + x_2 + x_3 \geq 3(x_1 x_2 x_3)^{\frac{1}{3}}3 \geq (x_1 x_2 x_3)^{\frac{1}{3}} \\ \therefore \log_3 3 \geq \frac{1}{3} \log (x_1 x_2 x_3)\therefore 3 \geq P\Rightarrow M = 3 \\ \therefore \log_2 m^3 + \log_3 m^2 = \log_2 4^3 + \log_3 3^2$= 6 + 2 = 8