$\begin{aligned} &\text{Let } f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \\[6pt] &\text{Given } f(-1) = 10, f(1) = -6 \\[6pt] &\therefore -a + b - c + d = 10 \quad \dots(\text{i}) \\ &\text{and } a + b + c + d = -6 \quad \dots(\text{ii}) \\[6pt] &\text{Adding (i) + (ii):} \\ &2(b + d) = 4 \\ &\Rightarrow b + d = 2 \quad \dots(\text{iii}) \\[6pt] &f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \\ &\text{Given } f'(-1) = 0 \\ &\Rightarrow 3a - 2b + c = 0 \quad \dots(\text{iv}) \\[6pt] &f''(x) = 6ax + 2b \\ &\text{Given } f''(1) = 0 \\ &\therefore 6a + 2b = 0 \quad \dots(\text{v}) \\ &\Rightarrow b = -3a \\[6pt] &\text{Adding (iv) + (v), we get:} \\ &9a + c = 0 \quad \dots(\text{vi}) \\ &\Rightarrow 9\left( \frac{-b}{3} \right) + c = 0 \\ &\Rightarrow c = 3b \\[6pt] &f(x) = \frac{-b}{3}x^3 + bx^2 + 3bx + (2 - b) \\ &\Rightarrow f'(x) = -bx^2 + 2bx + 3b \\ &= -b(x^2 - 2x - 3) \\[6pt] &\text{At maxima and minima, } f'(x) = 0 \\ &\therefore (x^2 - 2x - 3) = 0 \\ &\Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \\ &x = 3, -1 \\[6pt] &\text{As } a + b + c + d = -6 \\ &\Rightarrow \frac{-b}{3} + b + 3b + 2 - b = -6 \\ &\Rightarrow b = -3 \\[6pt] &\therefore f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3) \\ &\Rightarrow f''(x) = 3(2x - 2) \\[6pt] &\text{At } x = 3, f''(x) = 3(2 \cdot 3 - 2) = 12 > 0 \\ &\therefore \text{Minima at } x = 3 \end{aligned}$