Equation of tangent at $R(b, f(b))\\$ $y-f(b)=f^{\prime}(b)(x-b) \\$ which passes through $S(0, c)\\$   $\begin{aligned} & \therefore c-f(b)=f^{\prime}(b)(0-b) \\ & b f^{\prime}(b)-f(b)=-c \\ & \Rightarrow b f^{\prime}(b)-f(b)=\frac{-3}{b} (\because b c=3) \\ & \Rightarrow \frac{b f^{\prime}(b)-f(b)}{b^2}=\frac{-3}{b^3} \\ & \Rightarrow d\left(\frac{f(b)}{b}\right)=\frac{-3}{b^3} \\ & \Rightarrow \frac{f(b)}{b}=\frac{3}{2 b^2}+c \end{aligned} \\$ which passes through $P\left(1, \frac{3}{2}\right)\\$ 

$\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{3 / 2}{1}=\frac{3}{2}+c \\ & \Rightarrow c=0 \\ & \therefore f(b)=\frac{3}{2 b^2} \times b \\ & \Rightarrow f(b)=\frac{3}{2 b} \end{aligned} \\$ $\because$ It passes through $Q\left(a, \frac{1}{2}\right)\\$ $\begin{aligned} & \therefore \frac{1}{2}=\frac{3}{2 a} \\ & \Rightarrow a=3 \\ & \therefore P \equiv\left(1, \frac{3}{2}\right) \text { and } Q \equiv\left(3, \frac{1}{2}\right)\\ & \therefore (P Q)^2=(3-1)^2+\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)^2=4+1=5 \end{aligned}$