Given $a_1, a_2, \ldots, a_n$ are in AP. $\\$ Find $a_1$ and $d$ From the given conditions:$\\ a_{11} = 18 \Rightarrow a_1 + 10d = 18 \quad \text{---(1)}$ $\\ a_5 = 2a_7 \Rightarrow a_1 + 4d = 2(a_1 + 6d)$ $\\ \Rightarrow a_1 + 4d = 2a_1 + 12d$ $\\ \Rightarrow a_1 + 8d = 0 \quad \text{---(2)} \\$ Subtracting (2) from (1):$\\ (a_1 + 10d) - (a_1 + 8d) = 18 - 0$ $\\2d = 18 \Rightarrow d = 9 \\$ Substituting $d=9$ into (2): $a_1 + 8(9) = 0 \Rightarrow a_1 = -72$

$12 \left( \frac{1}{\sqrt{a_{10}}+\sqrt{a_{11}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{11}}+\sqrt{a_{12}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{a_{17}}+\sqrt{a_{18}}} \right) \\$By rationalizing each term, We get: $= \\\\12 \left( \frac{\sqrt{a_{11}}-\sqrt{a_{10}}}{d} + \frac{\sqrt{a_{12}}-\sqrt{a_{11}}}{d} + \ldots + \frac{\sqrt{a_{18}}-\sqrt{a_{17}}}{d} \right) \\$Most terms cancel out (telescoping sum): $\\\\= \frac{12}{d} (\sqrt{a_{18}} - \sqrt{a_{10}})$ $\\$Calculate final values $\\ a_{18} = a_1 + 17d = -72 + 17(9) \\ = -72 + 153 = 81$ $\\\\$ $a_{10} = a_1 + 9d = -72 + 9(9) = -72 + 81 = 9$ $\\$ Substituting these back: $\\\\= \frac{12}{9} (\sqrt{81} - \sqrt{9}) = \frac{4}{3} (9 - 3)$ $\\\\= \frac{4}{3} (6) = 8$