(c) : Let the A.P. be $a, a+d, a+2 d, \ldots \ldots, a+(n-1) d\\$ We have $\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]=c n^2$ $\\ \Rightarrow n a+\frac{n^2}{2} d-\frac{n}{2} d=c n^2 \\ \Rightarrow\left(\frac{d}{2}\right) n^2+n\left(a-\frac{d}{2}\right)=c n^2\\$ which holds for all $n$ implying $\\ \frac{d}{2}=c$ and $a=\frac{d}{2}\\$ Then the A.P. is $a, 3 a, 5 a, \ldots \ldots,(2 n-1) a \cdot \\=a^2\left(1^2+3^2+(2 n-1)^2\right) \\$ The sum of square of these $n$ terms $\\=a^2\left(1^2+3^2+(2 n-1)^2\right)$ $\\=a^2 \cdot \frac{n\left(4 n^2-1\right)}{3}\\=\frac{n\left(4 n^2-1\right)}{3} \cdot c^2[\because a=c]\\$ Given sum to $1^{\text {st }} n$ terms of the A.P. $\\=S_n=c n^2 n^{\text {th }}$ termof A.P. $\\=t_n=S_n-S_{n-1}=c(2 n-1)\\$ Required sum $=\sum_{n=1}^n t_n^2=c^2 \sum_{n=1}^n(2 n-1)^2$ $\\=4 c^2 \sum_{n=1}^n n^2-4 c^2 \sum_{n=1}^n n+c^2 \sum_{n=1}^n 1\\$ $=4 c^2 \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-4 c^2 \frac{n(n+1)}{2}+c^2 n \\=\frac{n\left(4 n^2-1\right) c^2}{3}$