(i) $a, x, y, z, b$ are in A.P. Let $d$ be the C.D. $\begin{aligned}& a+b=(a+x+y+z+b)-(x+y+z) \\& =(a+a+d+a+2 d+a+3 d+a+4 d)-15 \\&=5 a+10 d-15 \\\end{aligned}$ $\\$But $a+4 d=b \Rightarrow d=\frac{b-a}{4}$ $\\$ $\begin{array}{r}\therefore a+b=5 a+10\left(\frac{b-a}{4}\right)-15 \\ \therefore =\frac{5}{2}(a+b)-15 \\ \Rightarrow a+b=10\end{array}$ $a, x, y, z, b$ are in H.P. $\\$ $\Rightarrow \frac{1}{a}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{b}$ are in A.P. As before $\\$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-\frac{5}{3}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{a b}=\frac{10}{9} \quad \therefore a b=9$ $\\$ Solving (i) and (ii), $a=1, b=9$ or $a=9, b=1$ $\\$ (ii) $\because x, y, z$ are in H.P. So, $y=\frac{2 x z}{x+z}$ L.H.S.$\\ =\log (x+z)+\log (x+z-2 y)$ $\begin{aligned} & =\log (x+z)+\log \left(x+z-\frac{4 x z}{x+z}\right) \\& =\log (x+z)+\log \left(\frac{x^2+z^2+2 x z-4 x z}{x+z}\right) \\& =\log (x+z)+\log (x-z)^2-\log (x+z) \\& =\log (x-z)^2=2 \log (x-z)=\text { R.H.S. }\end{aligned}$