Since $x_1, x_2, x_3$ are in A.P. Therefore, let $x_1=a-d, x_2=a\\$ and $x_3=a+d$ and $x_1, x_2, x_3$ are the roots of $x^3-x^2+\beta x+\gamma=0\\$ We have $\Sigma \alpha=a-d+a+a+d=1$ $\\ \begin{gathered}\Sigma \alpha \beta=(a-d) a+a(a+d)+(a-d)(a+d)=\beta \\ \alpha \beta \gamma=(a-d) a(a+d)=-\gamma \end{gathered}\\$ From (1), we get, $3 a=1 \Rightarrow a=1 / 3\\$ From (2), we get, $3 a^2-d^2=\beta$ $\\ \Rightarrow 3(1 / 3)^2-d^2=\beta \Rightarrow 1 / 3-\beta=d^2\\$ (Note : In this equation we have two variable $\\ \beta$ and $d$ but we have only one equation. $\\$So at first sight it looks that this equation cannot be solved $\\$but we know that $d^2 \geq 0$ $\forall d \in R$ then $\beta$ can be solved)$\\ \Rightarrow \frac{1}{3}-\beta \geq 0 \because d^2 \geq 0 \Rightarrow \beta \leq \frac{1}{3} \Rightarrow \beta \in\left(-\infty, \frac{1}{3}\right] \\$ From (3), $a\left(a^2-d^2\right)=-\gamma\\$ $\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{1}{3}\left(\frac{1}{9}-d^2\right)=-\gamma \Rightarrow \frac{1}{27}-\frac{1}{3} d^2=-\gamma \\ & \Rightarrow \gamma+\frac{1}{27}=\frac{1}{3} d^2 \Rightarrow \gamma+\frac{1}{27} \geq 0 \\& \Rightarrow \gamma \geq-\frac{1}{27} \Rightarrow \gamma \in\left[-\frac{1}{27}, \infty\right) \end{aligned}$