General term of the expansion $\\ \left(3^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{4}}\right)^{680} \\  \qquad={ }^{680} C_r\left(3^{1 / 2}\right)^{680-r}\left(5^{1 / 4}\right)^r \\={ }^{680} C_r \times 3^{\frac{680-r}{2}} \times 5^{\frac{r}{4}}$ 

The term will be integral if $r$ is a multiple of 4 . 

$\therefore r=0,4,8,12, \ldots, 680$  which is an $\mathrm{AP}) \\ 680=0+(n-1) 4 \\ n=\frac{680}{4}+1=171$