${{x - a} \over 3} = {{y - b} \over { - 4}} = {{z - c} \over {12}} \\\\ = {{ - 2(3a - 4b + 12c + 19)} \over {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {{12}^2}}}$

${{x - a} \over 3} = {{y - b} \over { - 4}} = {{z - c} \over {12}} \\\\ = {{ - 6a + 8b - 24c - 38} \over {169}}$

$(x,y,z) \equiv (a - 6,\,\beta ,\gamma )$

${{(a - 6) - a} \over 3} = {{\beta - b} \over { - 4}} = {{\gamma - c} \over {12}} \\\\ = {{ - 6a + 8b - 24c - 38} \over {169}}$

${{\beta - b} \over { - 4}} = - 2 \Rightarrow \beta = 8 + b$

${{\gamma - c} \over {12}} = - 2 \Rightarrow \gamma = - 24 + c$

${{ - 6a + 8b - 24c - 38} \over {169}} = - 2$

$\Rightarrow 3a - 4b + 12c = 150 \quad ..... (1)$

$a + b + c = 5$

$3a + 3b + 3c = 15 \quad ...... (2)$

Applying (1) - (2)

$- 7b + 9c = 135$

$7b - 9c = - 135$

$7\beta - 9\gamma = 7(8 + b) - 9( - 24 + c)$

$= 56 + 216 + 7b - 9c$

$= 56 + 216 - 135 = 137$