$(3+6 x)^n={ }^n C_0 3^n+{ }^n C_1 3^{n-1}(6 x)^1+\ldots \\$

 $T_{r+1}{ }^n C_r 3^{n-r} \cdot(6 x) r={ }^n C_r 3^{n-r} \cdot 6 \cdot x^r \cdot x^r \\$

$={ }^n C_r 3^{n-r} \cdot 3^r \cdot 2^r \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^r={ }^n C_r 3^n \cdot 3^r \quad\left[\text { for } x=\frac{3}{2}\right]$

$T_9$ is greatest of $x=\frac{3}{2}$

So, $\mathrm{T}_9>\mathrm{T}_{10}$ and $\mathrm{T}_9>\mathrm{T}_8$

(concept of numerically greatest term)

$\\$Here, $\frac{\mathrm{T}_9}{\mathrm{~T}_{10}}>1$ and $\frac{\mathrm{T}_9}{\mathrm{~T}_8}>1$

$\Rightarrow \frac{{ }^n C_8 3^n \cdot 3^8}{{ }^n C_9 3^n \cdot 3^9}>1 \text { and } \frac{{ }^n C_8 3^n \cdot 3^8}{{ }^n C_7 3^n \cdot 3^7}>1$

and $\frac{{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_8}{{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_7}>\frac{1}{3}$

and $\frac{\mathrm{n}-7}{8}>\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{29}{3}<\mathrm{n}<11 \Rightarrow \mathrm{n}=10=\mathrm{n}_0$

$\\$

So, in $(3+6 x)^n$ for $n=n_0=10$

i.e., in $(3+6 \mathrm{x})^{10}$, here $\mathrm{T}_{\mathrm{r}+1}={ }^{10} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} 3^{10-\mathrm{r}} 6^{\mathrm{T}} \mathrm{x}^{\mathrm{I}}$

$\mathrm{T}_7={ }^{10} \mathrm{C}_6 3^4 \cdot 6^6 \cdot \mathrm{x}^6=210 \cdot 3^{10} \cdot 2^6 \mathrm{x}^6 \\$

$\mathrm{~T}_4={ }^{10} \mathrm{C}_3 3^7 6^3 \mathrm{x}^3=120 \cdot 3^{10} \cdot 2^3 \mathrm{x}^3$

Ratio of coefficient of $x^6$ and coefficient of $x^3=k$

$\therefore \mathrm{k}=\frac{210.3^{10} 2^6}{120.3^{10} \cdot 2^3}=\frac{7}{4} \times 2^3=14$

So, $k+n_0=14+10=24$