$f(x) = a{x^2} + bx + c$ $f'(x) \\= 2ax + b,$ $f''(x) = 2a\\$ Given, $\\f''( - 1) = {1 \over 2}$ $\Rightarrow a = {1 \over 4}\\$ $f'( - 1) \\= 1 \Rightarrow b - 2a = 1$ $\Rightarrow b \\= {3 \over 2}$ $f( - 1) = a - b + c = 2\\$ $\Rightarrow c = {{13} \over 4}\\$ Now, $\\f(x) = {1 \over 4}({x^2} + 6x + 13),x \in [ - 1,1]$ $\\f'(x) = {1 \over 4}(2x + 6) = 0\\$ $\Rightarrow x = - 3 \notin [ - 1,1]$ $f(1) \\= 5,f( - 1) = 2$ $f(x) \le 5$ {So,} $\\ \alpha_\text{minimum} = 5$$$