Let any point on the parabola $y^2=4 x$ is $\left(t^2, 2 t\right)$

Let its mirror image with respect to the line $x+y+4=0$ is ( $\mathrm{h}, \mathrm{k}$ ) then

$\frac{h-t^2}{1}=\frac{k-2 t}{1}=\frac{-2\left(t^2+2 t+4\right)}{2} \\$

$\therefore h=-2 t-4, k=-t^2-4 \\$

So $k+4=-\left(\frac{h+4}{2}\right)^2 \\$

$\Rightarrow(h+4)^2=-4(k+4)$

So locus of $C$ is

(x+4)^2=-4(y+4)

It intersects $y=-5$

So $(x+4)^2=4 \\$

$\Rightarrow x+4= \pm 2 \\$

$\Rightarrow x=-2,-6 \\$

$\therefore\left|x_1-x_2\right|=4$