$\mathrm{AR}_1 \mathrm{~B} \Rightarrow \mathrm{~A} \cap \mathrm{~B}^{\mathrm{C}} \cup \mathrm{~B} \cap \mathrm{~A}^{\mathrm{C}}=\phi$

(i) for reflexive $A R_1 A$

$\\ \Rightarrow \mathrm{A} \cap \mathrm{~A}^{\mathrm{C}} \cup \mathrm{~A} \cap \mathrm{~A}^{\mathrm{C}}=\phi \cup \phi=\phi$

(ii) symmetric

$\\ \mathrm{AR}_1 \mathrm{~B} \Rightarrow \mathrm{BR}_1 \mathrm{~A} \\$

$\Rightarrow \mathrm{~A} \cap \mathrm{~B}^{\mathrm{C}} \cup \mathrm{~B} \cap \mathrm{~A}^{\mathrm{C}}=\phi \Rightarrow \mathrm{AR}_1 \mathrm{~B} \\$

$\Rightarrow \mathrm{~B} \cap \mathrm{~A}^{\mathrm{C}} \cup \mathrm{~A} \cap \mathrm{~B}^{\mathrm{C}}=\phi \Rightarrow \mathrm{BR}_1 \mathrm{~A}$

$\therefore$ It is symmetric

(iii) Transitive

$\mathrm{AR}_1 \mathrm{~B} \Rightarrow \mathrm{~A} \cap \mathrm{~B}^{\mathrm{C}} \cup \mathrm{~B} \cap \mathrm{~A}^{\mathrm{C}}=\phi \\$

$\mathrm{BR}_1 \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{~B} \cap \mathrm{C}^{\mathrm{C}} \cup \mathrm{C} \cap \mathrm{~B}^{\mathrm{C}}=\phi \\$

$\Rightarrow \mathrm{A} \cap \mathrm{~B}^{\mathrm{C}}=\phi \& \mathrm{~B} \cap \mathrm{~A}^{\mathrm{C}}=\phi \\$

$\mathrm{B} \cap \mathrm{C}^{\mathrm{C}}=\phi \& \mathrm{C} \cap \mathrm{~B}^{\mathrm{C}}=\phi \\$

$\Rightarrow \mathrm{A} \cap \mathrm{C}^{\mathrm{C}}=\phi \& \mathrm{C} \cap \mathrm{~A}^{\mathrm{C}}=\phi$

$\therefore R_1$ is transitive

$\therefore R_1$ is equivalence relation.

$R_2: A R_2 B \Rightarrow A \cup B^C=B \cup A^C \\$

$A \cup B^C=\mu-(B-A)$

Similarly $\mathrm{B} \cup \mathrm{A}^{\mathrm{C}}=\mu-(\mathrm{A}-\mathrm{B})$

If $\mathrm{AR}_2 \mathrm{~B} \Rightarrow \mathrm{~A}-\mathrm{B}=\mathrm{B}-\mathrm{A}\\$

i) Reflexive $\mathrm{A}-\mathrm{A}=\mathrm{A}-\mathrm{A}\\$

ii) Symmetric

$\\ \mathrm{AR}_2 \mathrm{~B} \Rightarrow \mathrm{~A}-\mathrm{B}=\mathrm{B}-\mathrm{A} \\$

$\mathrm{BR}_2 \mathrm{~A} \Rightarrow \mathrm{~B}-\mathrm{A}=\mathrm{A}-\mathrm{B}\\$

iii) Transitive

$\\ \mathrm{AR}_2 \mathrm{~B} \Rightarrow \mathrm{~A}-\mathrm{B}=\mathrm{B}-\mathrm{A}$

 { and } $\mathrm{BR}_2 \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{~B}-\mathrm{C}=\mathrm{C}-\mathrm{B}$

$\\ (1)+(2) \Rightarrow \mathrm{A}-\mathrm{C}=\mathrm{C}-\mathrm{A} \\$

$\Rightarrow \mathrm{AR}_2 \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{CR}_2 \mathrm{~A}$

$\\ \therefore \mathrm{R}_2$ is also equivalence