Given: $0 < \phi < \frac{\pi}{2}\\$

Equation for $x$:

$\\x = 1 + \cos^2 \phi + \cos^4 \phi + \dots \infty\\$

infinite G.P. common ratio $r = \cos^2 \phi\\$

$x = \frac{1}{1 - \cos^2 \phi} = \frac{1}{\sin^2 \phi} \implies \sin^2 \phi = \frac{1}{x}\\$

Equation for $y$:

$\\y = 1 + \sin^2 \phi + \sin^4 \phi + \dots \infty\\$

infinite G.P. common ratio $r = \sin^2 \phi$

$\\y = \frac{1}{1 - \sin^2 \phi} = \frac{1}{\cos^2 \phi} \implies \cos^2 \phi = \frac{1}{y}\\$

Equation for $z$:

$\\z = 1 + \cos^2 \phi \sin^2 \phi + \cos^4 \phi \sin^4 \phi + \dots \infty\\$

infinite G.P. common ratio $r = \cos^2 \phi \sin^2 \phi$

$\\z = \frac{1}{1 - \cos^2 \phi \sin^2 \phi}\\$ $\sin^2 \phi$ and $\cos^2 \phi$ values $z\\$ 

$z = \frac{1}{1 - (\frac{1}{y})(\frac{1}{x})}\\$

$z = \frac{1}{1 - \frac{1}{xy}}\\$

$z = \frac{xy}{xy - 1}\\$

$z(xy - 1) = xy\\$

$xyz - z = xy\\$

$xyz = xy + z$