Let 

 $A=\binom{30}{0}\binom{30}{10}-\binom{30}{1}\binom{30}{11}+\binom{30}{2}\binom{30}{12}-\ldots+\binom{30}{20}\binom{30}{30} \\$

$\therefore \quad A={ }^{30} C_0 \cdot{ }^{30} C_{10}-{ }^{30} C_1 \cdot{ }^{30} C_{11}+{ }^{30} C_2 \cdot{ }^{30} C_{12} \cdots \\$

$+{ }^{30} C_{20} \cdot{ }^{30} C_{30} \\$

= coefficient of $x^{20}$  in $(1+x)^{30}(1-x)^{30} \\$

=  coefficient of $x^{20}$  in $\left(1-x^2\right)^{30} \\$

=  coefficient of  $x^{20}$ in $\sum_{r=0}^{30}(-1)^r{ }^{30} C_r\left(x^2\right)^r \\$

$=(-1)^{10}{ }^{30} C_{10}$  for coefficient of $x^{20},$ Put r =10

=${ }^{30} C_{10}$