Coefficient of x in ${(1 + x)^p}{(1 - x)^q}\\$

$- {}^p{C_0}\,{}^q{C_1} + {}^p{C_1}\,{}^q{C_0} = - 3 \Rightarrow p - q = - 3\\$

Coefficient of x² in ${(1 + x)^p}{(1 - x)^q}\\$

${}^p{C_0}\,{}^q{C_2} - {}^p{C_1}\,{}^q{C_1} + {}^p{C_2}\,{}^q{C_0} = - 5\\$

${{q(q - 1)} \over 2} - pq + {{p(q - 1)} \over 2} = - 5\\$

${{{q^2} - q} \over 2} - (q - 3)q + {{(q - 3)(q - 4)} \over 2} = - 5\\$

$\Rightarrow q = 11,\,p = 8\\$

Coefficient of x³ in ${(1 + x)^8}{(1 - x)^{11}}\\$

$= - {}^{11}{C_3} + {}^8{C_1}\,{}^{11}{C_2} - {}^8{C_2}\,{}^{11}{C_1} + {}^8{C_3} = 23$